[E-Book] Các Đề Thi Toán Tại Việt Nam

Tháng 6 hàng năm tất cả các trường THPT Chuyên trên khắp cả nước tổ chức tuyển sinh các học sinh giỏi vào các lớp chuyên Toán & Tin. Đây là những học sinh ưu tú khi trước đó đã trải qua kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 THCS trong tháng 4. Năm học mới khởi động với kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12, các học sinh lớp 11 có năng lực tốt cũng được tham gia vào kỳ thi này. Những học sinh giỏi cấp tỉnh đạt giải Nhất, Nhì, Ba tiếp tục ôn luyện để trải qua kỳ thi chọn đội tuyển tỉnh / thành phố để chọn ra tối đa 6 học sinh tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT do Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam tổ chức vào tháng 1. Những học sinh (khoảng hơn 40) đạt giải cao nhất trong kỳ thi này tiếp tục ôn luyện chuẩn bị cho kỳ thi chọn đội tuyển Quốc gia Việt Nam (VNTST) vào tháng 4. Sau kỳ thi này, 6 học sinh xuất sắc nhất sẽ được tập huấn tại viện Toán học và sẽ đại diện Việt Nam tham dự Olympic Toán Quốc tế (IMO) được diễn ra vào tháng 7 hàng năm.

Bên cạnh những kỳ thi quan trọng này, việc phát hiện và bỗi dưỡng những học sinh năng khiếu từ lớp 10 và 11 là luôn cần thiết. Những học sinh này thường được rèn luyện từ các kỳ thi Olympic Toán như Olympic 30/4 các tỉnh miền Nam, hay Olympic Duyên Hải Bắc Bộ,... Hàng năm, các Trường / Trại Xuân - Hè - Thu - Đông, Gặp gỡ Toán học,... cũng được tổ chức khắp nơi trên mọi miền đất nước, đây là những dịp tốt để các học sinh giỏi các tỉnh thành và các giáo viên Toán giao lưu, trao đổi, học tập với nhau.

Với mong muốn đem lại nguồn tài liệu tham khảo quý giá cho các bạn học sinh cũng như quý thầy cô, chúng tôi biên soạn tập tài liệu Các Đề Thi Toán Tại Việt Nam. Tài liệu này:
  1. được soạn thảo bởi $\LaTeX$ đem đến chất lượng tốt nhất cho bạn đọc, một số câu chữ được chúng tôi biên tập lại để đồng bộ tất cả các đề thi nhưng vẫn đảm bảo giữ được tính chính xác về mặt Toán học.
  2. được phát hành dưới dạng E-book theo tiêu chí cập nhật đề thi mới, bổ sung đề thi cũ. Chính vì vậy tài liệu này không bao gồm đầy đủ tất cả các đề thi, nhưng sẽ cố gắng tập hợp được càng nhiều đề thi càng tốt và sẽ hoàn thiện theo thời gian.
  3. không bao gồm lời giải của các bài toán, lời giải (không) chính thức của một số đề thi có thể được tìm thấy tại http://www.molympiad.blogspot.com hoặc nhấn trực tiếp vào tiêu đề của đề thi tương ứng.
Mỗi năm 4 lần vào các ngày 01/01, 04/04, 07/07 & 10/10 chúng tôi sẽ cập nhật các đề thi mới và bổ sung các đề thi cũ vào tài liệu này. Phiên bản đầu tiên được phát hành ngày 07/07/2018. DOWNLOAD TẠI ĐÂY. Phiên bản tiếp theo sẽ được phát hành ngày 10/10/2018 tại http://bit.ly/2tUfRVH.

Chúng tôi lưu ý với bạn đọc rằng tài liệu này được tạo ra như là một phần của trang web http://www.molympiad.blogspot.com, tại đây bạn đọc có thể truy cập nhiều đề thi khác chưa được đưa vào trong cuốn sách này, cũng như các tài liệu cần thiết chuẩn bị cho các kỳ thi Toán. Chúng tôi sẽ cố gắng $\LaTeX$ hoá và cập nhật thêm nhiều đề thi vào cuốn sách này trong những lần tới. Bạn đọc có thể theo dõi fanpage chính thức của MOlympiad tại https://www.facebook.com/MOlympiad1/ để cập nhật các đề thi và tài liệu mới nhất phục vụ học tập.

Cuối cùng, đây là một tuyển tập rất đồ sộ với rất nhiều đề thi của rất nhiều tỉnh / thành phố trên khắp mọi miền đất nước, nên không tránh khỏi sai sót trong quá trình biên tập. Nếu bạn phát hiện bất kỳ lỗi nào trong cuốn sách này, xin hãy thông báo cho chúng tôi theo địa chỉ bbt.molympiad@gmail.com để chúng tôi kịp thời chỉnh sửa. Chúng tôi cũng rất vui lòng nếu nhận được sự giúp đỡ của các bạn để cuốn sách này được hoàn thiện hơn bằng cách gửi những đề thi và / hoặc đáp án chưa có trong cuốn sách này đến cho chúng tôi, các tài liệu nên được định dạng $\TeX$, PDF, Word theo thứ tự ưu tiên. Mọi sự giúp đỡ của bạn dù là nhỏ nhất đều có ích cho cộng đồng.
Share:

Toán Học & Tuổi Trẻ

Báo Toán Học và Tuổi Trẻ (TH&TT) ra số đầu tiên từ tháng 10 năm 1964. Từ đó cho tới nay, báo TH&TT với biết bao bài toàn với cách giải thông minh luôn được các bạn học sinh giỏi toán THCS THPT, các thầy cô giáo chào đón nồng nhiệt.

MOlympiad tổng hợp và chia sẻ đến các bạn toàn bộ các số báo TH&TT từ năm 1978 cho đến nay, và sẽ tiếp tục cập nhật các số báo TH&TT mới nhất để bạn đọc tham khảo!. Bạn không cần phải download các số báo TH&TT (tổng dung lượng các tập tin lên đến hàng chục GB), bạn chỉ cần đăng nhập vào tài khoản Google để lưu (save) vào tài khoản của bạn là bạn đã có thể đọc và tra cứu lúc cần thiết.



Tại đây bạn cũng tìm thấy 15 số báo đặc san đặc biệt của báo Toán Học Tuổi Trẻ từ năm 2011 đến năm 2014, hai cuốn Tuyển tập 5 nămTuyển tập 30 năm,  Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và Tuổi trẻ, và Các bài toán chọn lọc 45 năm Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ các cuốn sách này tuyển chọn các bài viết chuyên đề thú vị, các bài toán hay trên tạp chí.
Share:

[Đáp Án] Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Long An Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2018-2019

  1. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực $$\begin{cases} \sqrt {2x + y} - x + y &= 1\\ \sqrt {2x + y} + \sqrt {4x + y} &= 2 \end{cases}$$
  2. Cho hàm số $y = {x^4} + 2m{x^2} + 3$ với $m$ là tham số thực có đồ thị $(C_m)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho trên đồ thị $(C_m)$ tồn tại duy nhất một điểm mà tiếp tuyến của $(C_m)$ tại điểm đó vuông góc với đường thẳng $x - 8y + 2018 = 0$.
  3. Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$. Đường thẳng $AI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $M$ ($M$ khác $A$). Gọi $AA'$ là đường kính của $(O)$. Đường thẳng $MA'$ cắt các đường thẳng $AH$, $BC$ theo thứ tự tại $N$ và $K$. Chứng minh $\widehat {NIK} = {90^\circ}$.
  4. Cho $K$ là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ $K$. Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là bội của $4$.
  5. Cho hàm số $f:\mathbb R \to \mathbb R$ thỏa $$f\left( {xf\left( y \right)} \right) + f\left( {f\left( x \right) + f\left( y \right)} \right) = yf\left( x \right) + f\left( {x + f\left( y \right)} \right),\,\forall x,y \in \mathbb R.$$ a) Chứng minh rằng nếu tồn tại $a \in R$ sao cho $f\left( a \right) \ne 0$ thì $f$ là đơn ánh.
    b) Tìm tất cả các hàm số $f$.
  6. Cho dãy số $(u_n)$ được xác định như sau $$u_1 = 2020,\quad {u_{n + 1}} = \frac{{2018n + 2}}{{2019n + 2}}({u_n} + 1),\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
  7. Có bao nhiêu số tự nhiên có $2018$ chữ số, trong mỗi số đó các chữ số đều lớn hơn $1$ và không có hai chữ số khác nhau cùng nhỏ hơn $7$ đứng liền nhau?
Share:

[Đáp Án] Đề Thi Olympic Toán Duyên Hải Bắc Bộ 2018-2019 (Khối 11)

  1. Cho dãy số $({u_n})_{n = 1}^{ + \infty }$ bị chặn trên và thoả mãn điều kiện $${u_{n + 2}} \ge \frac{2}{5}{u_{n + 1}} + \frac{3}{5}{u_n},\,\forall n \in \mathbb N^*.$$ Chứng minh rẳng dãy $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn.
  2. Cho $\Delta ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC$, $CA$, $AB$ ở $D$, $E$, $F$. Đường thẳng qua $A$ song song $BC$ cắt $DE$, $DF$ lần lượt tại $M$, $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ cắt đường tròn $(I)$ tại điểm $L$ khác $D$.
    a) Chứng minh $A$, $K$, $L$ thẳng hàng.
    b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ tại $M$, $N$ cắt $EF$ tại $U$, $V$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $UVL$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$.
  3. Tìm tất cả các đa thức $P\left( x \right) \in \mathbb Z\left[ x \right]$ sao cho phương trình $P\left( x \right) = {2^n}$ có nghiệm nguyên với mọi số $n$ nguyên dương.
  4. Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $12k+11$. Một tập con $S$ của tập $$M = \{ 1;2;3; \ldots ;p - 2;p - 1\} $$ được gọi là “tốt” nếu như tích của tất cả các phần tử của $S$ không nhỏ hơn tích của tất cả các phần tử của $M\setminus S$. Ký hiệu ${\Delta _S}$ hiệu của hai tích trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của số dư khi chia ${\Delta _S}$ cho $p$ xét trên mọi tập con tốt của $M$ có chứa đúng $\dfrac{{p - 1}}{2}$ phần tử.
  5. Cho đa giác lồi $n$ đỉnh ${A_0}{A_1}...{A_{n - 1}}$ $\left( {n \ge 2} \right)$. Mỗi cạnh và đường chéo của đa giác được tô bởi một trong $k$ màu sao cho không có hai đoạn thẳng nào cùng xuất phát từ một đỉnh cùng màu. Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$.
Share:

[Đáp Án] Đề Thi Olympic Toán Duyên Hải Bắc Bộ 2018-2019 (Khối 10)

  1. Giải hệ phương trình sau với $x,y \in \mathbb R$  $$\begin{cases}{\left( {y + 1} \right)^2} + y\sqrt {{y^2} + 1} & = x + \dfrac{3}{2}\\ x + \sqrt {{x^2} - 2x + 5} & = 1 + 2\sqrt {2x - 4y + 2} \end{cases}$$
  2. Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC$, các điểm $D$, $E$, $F$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ sao cho $DE||AB$, $DF||AC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ tại các điểm $A$, $G$. Đường thẳng $DE$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ tại điểm $H$ $\left( {H \ne E} \right)$. Đường thẳng qua $G$ vuông góc với $GH$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại điểm $K$ $\left( {K \ne G} \right)$, đường thẳng qua $G$ vuông góc với $GC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ tại điểm $L$ $\left( {L \ne G} \right)$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $GDK$, $GDL$. Chứng minh rằng khi điểm $D$ thay đổi trên cạnh $BC$ thì
    a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $GEF$ luôn đi qua hai điểm cố định.
    b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $GPQ$ luôn đi qua một điểm cố định.
  3. Tìm tất cả các số nguyên dương $m$, $n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $$4{m^3} + {m^2} + 40m = 2\left( {11{p^n} - 5} \right).$$
  4. Cho ba số thực dương \(a, b, c\). Chứng minh rằng $$\frac{{a(a - 2b + c)}}{{ab + 1}} + \frac{{b(b - 2c + a)}}{{bc + 1}} + \frac{{c(c - 2a + b)}}{{ca + 1}} \ge 0$$
  5. Cho bảng ô vuông kích thước $100\times 100$ mà mỗi ô được điền một trong các ký tự $A$, $B$, $C$, $D$ sao cho trên mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng $25$. Ta gọi hai ô thuộc cùng hàng (không nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”, còn hình chữ nhật có các cạnh song song với cạnh hoặc nằm trên cạnh của bảng và bốn ô vuông đơn vị ở bốn góc của nó được điền đủ bốn ký tự $A$, $B$, $C$, $D$ là “bảng tốt”.
    a) Hỏi trong các cách điền ở trên, có bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông và đều có chứa đủ các ký tự $A$, $B$, $C$, $D$?.
    b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho: luôn có hai cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được cặp tốt; luôn có một bảng tốt.
Share:

[Solutions] International Olympiad of Metropolises 2019

  1. Three prime numbers $p,q,r$ and a positive integer $n$ are given such that the numbers \[ \frac{p+n}{qr}, \frac{q+n}{rp}, \frac{r+n}{pq} \]are integers. Prove that $p=q=r $. 
  2. In a social network with a fixed finite setback of users, each user had a fixed set of followers among the other users. Each user has an initial positive integer rating (not necessarily the same for all users). Every midnight, the rating of every user increases by the sum of the ratings that his followers had just before midnight. Let $m$ be a positive integer. A hacker, who is not a user of the social network, wants all the users to have ratings divisible by $m$. Every day, he can either choose a user and increase his rating by 1, or do nothing. Prove that the hacker can achieve his goal after some number of days. 
  3. In a non-equilateral triangle $ABC$ point $I$ is the incenter and point $O$ is the circumcenter. A line $s$ through $I$ is perpendicular to $IO$. Line $\ell$ symmetric to like $BC$ with respect to $s$ meets the segments $AB$ and $AC$ at points $K$ and $L$, respectively ($K$ and $L$ are different from $A$). Prove that the circumcenter of triangles $AKL$ lies on the line $IO$. 
  4. There are 100 students taking an exam. The professor calls them one by one and asks each student a single person question: “How many of $100$ students will have a “passed” mark by the end of this exam?” The students answer must be an integer. Upon receiving the answer, the professor immediately publicly announces the student’s mark which is either “passed” or “failed.” After all the students have got their marks, an inspector comes and checks if there is any student who gave the correct answer but got a “failed” mark. If at least one such student exists, then the professor is suspended and all the marks are replaced with “passed.” Otherwise no changes are made. Can the students come up with a strategy that guarantees a “passed” mark to each of them?
  5. We are given a convex four-sided pyramid with apex $S$ and base face $ABCD$ such that the pyramid has an inscribed sphere (i.e., it contains a sphere which is tangent to each race). By making cuts along the edges $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ and rotating the faces $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$ outwards into the plane $ABCD$, we unfold the pyramid into the polygon $AKBLCMDN$ as shown in the figure. Prove that $K$, $L$, $M$, $N$ are concyclic.
  6. Let $p$ be a prime and let $f(x)$ be a polynomial of degree $d$ with integer coefficients. Assume that the numbers $f(1),f(2),\dots,f(p)$ leave exactly $k$ distinct remainders when divided by $p$, and $1<k<p$. Prove that \[ \frac{p-1}{d}\leq k-1\leq (p-1)\left(1-\frac1d \right) .\]
Share:

[Võ Quốc Bá Cẩn] Một Số Bài Toán Ứng Dụng Công Thức Nội Suy Lagrange

Bài toán nội suy là một trong các bài toán cơ bản của Toán lý thuyết và Toán ứng dụng. Trong thực tế, chúng ta không thể đo được giá trị của một hàm số tại mọi điểm, mà chỉ đo được tại một số điểm. Các công thức nội suy cho phép chúng ta, bằng phép đo tại một số điểm, “dựng” lại một đa thức xấp xỉ cho hàm số thực tế. Công thức nội suy Lagrange, vì thế có nhiều ứng dụng trong vật lý, trắc địa, kinh tế học, khí tượng thuỷ văn, dự đoán dự báo... Trong bài viết này, ta xem xét một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange trong các bài thi Olympic Toán.

Share:

[Đáp Án] Đề Thi Tuyển Sinh Lớp 10 THPT Chuyên Tỉnh Thái Bình 2018-2019 (Vòng 1)

  1. Cho biểu thức sau với $x \ge 0$, $x \ne \dfrac{1}{4}$, $x \ne 1$, $x \ne 4$ $$P = \left( {\frac{{x - 4}}{{x - 3\sqrt x + 2}} + 1} \right):\frac{1}{{2{x} - 3\sqrt x + 1}}.$$ a) Rút gọn biểu thức $P$.
    b) Tìm $x$ sao cho $P = 2019$.
    c) Với $x \ge 5$, tìm giá trị nhỏ nhất của $T = P + \dfrac{{10}}{x}$.
  2. Cho hai đường thẳng $$\left( {{d_1}} \right):y = mx + m,\quad \left( {{d_2}} \right):y = - \frac{1}{m}x + \frac{1}{m}$$ với $m$ là tham số, $m \ne 0$. Gọi $(x_0;y_0)$ là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ với $\left( {{d_2}} \right)$. Tính $T = x_0^2 + y_0^2$.
  3. Gọi ${x_1}$, ${x_2}$ là hai nghiệm của phương trình tham số $m$ sau $${x^2} + \left( {2 - m} \right)x - 1 - m = 0.$$ a) Tính $m$ để $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\sqrt 2 $.
    b) Tìm $m$ sao cho $T = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
  4. a) Giải phương trình $$\sqrt {4{x} + 8072} + \sqrt {9{x} + 18162} = 5.$$ b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases}{x^3} - {y^3} + 3{x^2} + 6{x} - 3y + 4 &= 0\\ {x^2} + {y^2} - 3{x} &= 1\end{cases}$$
  5. Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $a$ và điểm $J$ có $JO = 2a$. Các đường thẳng $JM$, $JN$ theo thứ tự là các tiếp tuyến tại $M$, tại $N$ của đường tròn $(O)$. Gọi $K$ là trực tâm của tam giác $JMN$, $H$ là giao điểm của $MN$ với $JO$.
    a) Chứng minh rằng $H$ là trung điểm của $OK$.
    b) Chứng minh rằng $K$ thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính $a$.
    c) $JO$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $M$ bán kính $r$. Tính $r$.
    d) Tìm tập hợp điểm $I$ sao cho từ điểm $I$ kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
  6. Cho $x$, $y$, $z$ là ba số thực không âm thỏa mãn $12{x} + 10y + 15z \le 60$ . Tính giá trị lớn nhất của $$T = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 4y - z$$
Share:

[Kỷ Yếu] Olympic Toán Sinh Viên Học Sinh 2019

Kỳ thi Olympic Toán học Sinh viên - Học sinh lần thứ 27 đã được Hội Toán học Việt Nam và Trường Đại học Nha Trang phối hợp tổ chức trong các ngày 1-7/4/2019 tại Trường Đại học Nha Trang, Khánh Hoà. Có 2 bảng A-B dành cho 77 đoàn sinh viên đại học và một bảng dành cho 12 trường phổ thông chuyên. Tổng cộng đã có 797 lượt thí sinh dự thi. Ban tổ chức đã quyết định trao số lượng giải thưởng như sau:
  • Khối sinh viên: Môn đại số có 33 giải nhất, 51 giải nhì, 81 giải ba. Môn Giải tích có 30 giải nhất, 52 giải nhì, 75 giải ba. Có 06 giải đặc biệt cho các sinh viên đạt thủ khoa một môn hoặc giải nhất cả hai môn. đặc biệt năm nay bạn Vương Đình Ân (Đại học Bách Khoa Hà Nội) đạt thủ khoa cả hai môn.
  • Khối học sinh: Có 6 huy chương vàng, 13 huy chương bạc và 17 huy chương đồng. Ban tổ chức phối hợp với Quỹ Lê Văn Thiêm trao phần thưởng của quỹ cho 9 học sinh có thành tích tốt nhất hoặc đã vượt khó đạt thành tích tốt.
Ngoài ra, 108 nữ sinh (sinh viên và học sinh) đạt giải đã được nhận phần thưởng của GS. TSKH. Phạm Thị Trân Châu, chủ tịch Hội Phụ nữ trí thức Việt Nam.

Quyển kỷ yếu này chủ yếu dành để tập hợp lại một số bài đề xuất của các trường tham dự kỳ thi với mong muốn cung cấp thêm một tài liệu tham khảo cho những người quan tâm.

Share:

Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 11 Tỉnh Nghệ An 2018-2019

  1. a) Giải phương trình $$\cos 2x + 7\cos x - \sqrt 3 \left( {\sin 2x - 7\sin x} \right) = 8.$$ b) Giải hệ phương trình sau với $x,y \in \mathbb R$ $$\begin{cases}x + \sqrt {{x^2} + 2x + 2} &= \sqrt {{y^2} + 1} - y - 1 \\{x^3} - \left( {3{x^2} + 2{y^2} - 6} \right)\sqrt {2{x^2} - y - 2} &= 0 \end{cases}$$
  2. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm $4$ chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$. Xác định số phần tử của $S$. Lấy ngẫu nhiên một số từ $S$, tính xác suất để số được chọn là số chia hết cho $11$ và tổng $4$ chữ số của nó cũng chia hết cho $11$.
  3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 2BC$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $AB$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ACD$. Viết phương trình đường thẳng $AD$, biết rằng $M(1;2)$ và $G\left( {\frac{5}{3};\;0} \right).$
  4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân $(AB || CD)$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và $\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = {90^\circ}.$ Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SA$.
    a) Chứng minh rằng $MO \bot \left( {ABCD} \right).$
    b) Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$. Chứng minh rằng $$\cos \varphi < \frac{{BC}}{{SA}}.$$
  5. a) Cho dãy số $(u_n)$ biết $${u_1} = 12,\quad \frac{{2{u_{n + 1}}}}{{{n^2} + 5n + 6}} = \frac{{{u_n} + {n^2} - n - 2}}{{{n^2} + n}},\,\forall n \in\mathbb N^*.$$ Tìm $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{{{u_n}}}{{2{n^2} + 1}}.$
    b) Cho ba số thực $a, b, c$ thỏa mãn ${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc + 32.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P = \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {\left| {a - b} \right| + \left| {b - c} \right| + \left| {c - a} \right|} \right).$$
Share:

[Đáp Án] Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 10 Tỉnh Hải Dương 2018-2019

  1. a) Cho hàm số $y = {x^{\rm{2}}} - 4x + 3$ có đồ thị $(P)$. Tìm giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $({d_m}):y = x + m$ cắt đồ thị $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1}$, ${x_2}$ thỏa mãn $$\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 2.$$ b) Cho hàm số $y = (m - 1){x^{\rm{2}}} - 2mx + m + 2$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty ;2)$.
  2. a) Giải hệ phương trình $$\begin{cases}\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} \right) &= 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2\\ {x^2}y + {x^2} - 2x - 12 &= 0 \end{cases}$$ b) Giải phương trình $$(x - 3)\sqrt {1 + x} - x\sqrt {4 - x} = 2{x^2} - 6x - 3.$$ c) Giải bất phương trình $${x^3} + (3{x^2} - 4x - 4)\sqrt {x + 1} \le 0.$$
  3. a) Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và điểm $N$ thỏa mãn $\overrightarrow {NB} - 3\overrightarrow {NC} = \overrightarrow {0}$. Gọi $P$ là giao điểm của $AC$ và $GN$. Tính tỉ số $\dfrac{{PA}}{{PC}}$.
    b) Cho tam giác nhọn $ABC$. Gọi $H$, $E$, $K$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh $A$, $B$, $C$. Gọi diện tích các tam giác $ABC$ và $HEK$ lần lượt là ${S_{\Delta ABC}}$ và ${S_{\Delta HEK}}$. Biết rằng ${S_{\Delta ABC}} = 4{S_{\Delta HEK}}$. Chứng minh $${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \frac{9}{4}.$$ c) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\Delta ABC$ cân tại $A$. Đường thẳng $AB$ có phương trình $x + y - 3 = 0$, đường thẳng $AC$ có phương trình $x - 7y + 5 = 0$. Biết điểm $M(1;10)$ thuộc cạnh $BC$, tìm tọa độ các đỉnh $A$, $B$, $C$. 
  4. Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại $I$ và loại $II$ từ $200kg$ nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại $I$ cần $2kg$ nguyên liệu và máy làm việc trong $3$ giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại $II$ cần $4kg$ nguyên liệu và máy làm việc trong $1,5$ giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại $I$ lãi $300000$ đồng, một kilôgam sản phẩm loại $II$  lãi $400000$ đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá $120$ giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?
  5. Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $xy + yz + xz = 3$. Chứng minh bất đẳng thức $$\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge 1.$$
Share:

[Kỷ Yếu] Các Chuyên Đề Toán Học Cập Nhật Chương Trình Và Sách Giáo Khoa Mới 2019 Tại Thanh Hóa

Ngày 28-29 tháng 9 năm 2019, tại thành phố Sầm Sơn, Thanh Hóa đã diễn ra hội thảo Toán học do Hội Toán học Hà Nội phối hợp với Sở Giáo dục Đào tạo Thanh Hóa đồng thực hiện. Chủ đề hội thảo “Các chuyên đề Toán cập nhật chương trình và sách giáo khoa mới” nhằm thực hiện mục tiêu đổi mới giáo dục của Bộ Giáo dục Đào tạo về các chương trình bồi dưỡng nâng cao chất lượng chuyên môn của đội ngũ giáo viên. Nhiều nhà khoa học, các GS, PGS, chuyên gia Toán học, lãnh đạo Bộ GD-ĐT, các Sở GD-ĐT Hưng Yên, Hải Dương, Hải Phòng, Nam Định, Thanh Hóa, cán bộ chỉ đạo chuyên môn, các thày cô giáo giỏi bộ môn Toán khối các trường THCS, THPT đang trực tiếp giảng dạy, cùng đông đảo cán bộ giáo viên Trung học của 27 huyện, thị xã và thành phố của Thanh Hóa đã tham dự Hội thảo.

GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu, Chủ tịch Hội Toán học Hà Nội phát biểu đề dẫn hội thảo. Báo cáo đầu tiên là của GS. TSKH Trần Văn Nhung. Ông không trình bày những vấn đề chuyên môn mà giới thiệu về cuộc đời và sự nghiệp của thần đồng Toán học – Giáo sư Terence Tao – người khi 15 tuổi đã công bố bài báo khoa học đầu tiên, Tiến sĩ năm 21 tuổi, Giáo sư năm 24 tuổi. Qua câu chuyện của GS Terence Tao ông muốn dề cập đến nhiều vấn đề quan trọng của nền giáo dục đổi mới: Bồi dưỡng nhân tài theo mô hình “kim tự tháp trí thức” cũng như “mô hình công dân toàn cầu mà giáo dục Việt Nam cần hướng tới”.

Có 9 báo cáo khoa học được trình bày: 2 báo cáo của hội viên Hội THHN, 1 báo cáo của cán bộ Viện Toán – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ VN – 1 báo cáo của giảng viên trường Đại học Thăng Long, còn lại 5 báo cáo của giáo viên Thanh Hóa (4 b/c của giáo viên trường THPT chuyên Lam Sơn, 1 của giáo viên THPT Thọ Xuân 5 Thanh Hóa). Số báo cáo gửi tới hội thảo tương đối nhiều, ban Tổ chức đã chọn được 26 b/c để đọc và được in trong tập kỷ yếu của Hội thảo. Hội Toán học HN lần đầu tiên phối hợp với địa phương Thanh Hóa tổ chức một hội thảo khoa học về Toán quy mô lớn. Giáo viên Thanh Hóa cùng giáo viên các tỉnh bạn đã nhiệt tình hưởng ứng, gửi b/c nghiên cứu của mình về tham gia. Đây là dịp để cán bộ giáo viên của Thanh Hóa được giao lưu học hỏi và cập nhật các kiến thức bộ môn Toán trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp trung học.

Share:

Recent Articles / Bài Mới

You May Also Like

    Comments / Nhận Xét

    Copyright © MOlympiad | Powered by Blogger About | Contact | $\LaTeX$ | Policy