Vài nhà Toán học được nhớ mãi bởi một định lý, một số khác bởi một giả thuyết. Nhưng Robert Langlands là một nhà Toán học vĩ đại được nhớ đến vì chương trình cùng tên ông, chương trình Langlands.
Robert Langlands, $81$ tuổi, đã nhận giải Abel $2018$, một trong các giải thưởng uy tín nhất trong Toán học, vì những cống hiến của ông mà ngày nay được gọi là chương trình Langlands, đó là một dự án tham vọng thường được gọi là một "lý thuyết lớn về sự thống nhất của Toán học".
Giải thưởng được trao bởi viện hàn lâm và khoa học Na Uy, nó trị giá $6$ triệu Na Uy krone (tương đương $550.000$ euro). Nó được đánh giá tương đương với giải Nobel của Toán học (trong Toán học không có giải Nobel).
Thực tế, những hiểu biết của ông là rất triệu để, ông đề nghị kết nối những ngành Toán học với nhau và trong lá thư đó ông bắt đầu một chương trình, chương trình Langlands, một chương trình đã lôi kéo hàng trăm nhà Toán học hàng đầu trong nửa thể kỉ trở lại đây. Không có một dự án nào khác trong Toán học hiện đại có ảnh hưởng rộng lớn, sinh ra rất nhiều kết quả sâu sắc và có rất nhiều người làm việc với nó. Vì tính sâu sắc và bề rộng của nó mà nó thường được miêu tả là lý thuyết thống nhất của Toán học.
Robert Langlands sinh ra tại New Westminster, Greater Vancouver, Canada vào năm $1936$. Khi ông $9$ tuổi, không chuyển đến một thị trấn nhỏ gần biên giới Mỹ nơi mà cha mẹ ông đã mở một cửa hàng cung cấp vật liệu xây dựng. Ông không hề có ý định vào đại học cho đến khi giáo viên của ông nói vậy với ông ngay trước mặt các bạn cùng lớp, rằng đó là một sự phản bội của ông trước tài năng được Chúa ban cho.
Langlands ghi danh vào trường đại học British Columbia ở tuổi $16$. Ông hoàn thành chương trình cửa nhân Toán học vào năm $1957$, và chương trình thạc sĩ sau đó. Sau đó ông chuyển đến đại học Yale, hoàn thành luận án Tiến sĩ tại đây với đề tài Semi-group and representation of Lie groups - vị nhóm và biểu diễn của các nhóm Lie, trong năm đầu tại đây. Trong năm thứ hai ông băt đầu nghiên cứu các công trình của nhà Toán học người Na Uy, Atle Selberg, mà sau đó trở thành lĩnh vực nghiên cứu chính của ông.
Vào năm $1960$, Langlands đến đại học Princeton với vai trò giảng viên, nơi mà ông vai kề vai cùng Selberg, như André Weil và Harish-Chandra, tất cả họ đã từng ở gần Viện nghiên cứu Cao cấp. Ông đặc biệt ảnh hưởng bởi công trình của Harish-Chandra trên các dạng tự đẳng cấu. Langlands cũng đã học các lý thuyết khác của Toán học, như lý thuyết trường các lớp, một lĩnh vực ông đã bị cuốn vào bởi người đồng nghiệp Salomon Bochner, Langlands đã được bổ nhiệm là thành viên trong trường của Viện Toán học.
Trong kì nghỉ giáng sinh năm $1966$, Langlands bắt đầu với ý tưởng cơ bản của "functoriality", một cơ chế để liên kết các ý tưởng trong lý thuyết số đến các dạng tự đẳng cấu. Ông đã va vào Weil trong hành lang trong những ngày bắt đầu tháng Giêng năm $1967$ và bắt đầu giải thích các khám phá của ông. Weil gợi ý rằng ông nên viết các ý tưởng của ông trong một bức thư.
Langlands nhanh chóng viết một bức thư dài bằng tay. Weil đã có bản đánh máy và nó đã được phổ biến rộng rãi giữa các nhà Toán học. Trong vòng vài năm sau, bức thư đưa ra rất nhiều điều mới, sâu sắc, và các vấn đề thú vị. Ngày càng có nhiều người tham gia dự án để chứng minh các giả thuyết của ông, được biết đến như là chương trình Langlands, "Có một vài điểm mới đã đúng mà làm tôi ngạc nhiên đến tận bây giờ," Langlands nói về bức thư của ông. "Có một điều hiển nhiên rằng các $L-$ hàm là tốt nhưng chúng sẽ có những hệ quả cho lý thuyết số đại số bởi những ý nghĩa không chắc chắn.
Langlands giành các năm $1967-68$ tại đại học kĩ thuật Trung Đông tại Ankara. Ông nói thành thạo tiếng Thổ Nhĩ Kỳ, một ngôn ngữ cần sự kiên nhẫn, ông cũng nói được tiếng Đức và Nga.
Langlands quay lại Yale nơi ông xây dựng các ý tưởng của ông về "functoriality" và sự tương giao, sau đó công bố chúng trong Problems in Theory of Automorphic Forms ($1970$). Năm $1972$ ông quay lại Princeton với tư cách giáo sư tại viện nghiên cứu Cao Cấp, và ở đó cho đến nay.
Trong những năm $1970$, Langlands tiếp tục làm việc với các tưởng về chương trình của ông. Giữa những năm $1980$, ông chuyển sự chú ý đến vật lý lý thuyết. Trong những năm gần đây ông đã tìm cách quay trở lại các ý tưởng mà ông đã tiên phong, một trong số đó là "endoscopy".
Langlands đã từng giành rất nhiều giải thưởng, bao giồm giải thưởng của viện khoa học quốc gia về Toán trong năm $1988$ cho những "tầm nhìn rộng lớn của ông". Ông đồng nhận giải Wolf $1996$ với Andrew Wiles. Các giải thưởng khác gồm giải $2005$- American Mathematical Society steele prize, $2006$ Nemmbers prize in Mathematics và giải Shaw $2007$ cùng Richard Taylor.
Trong thời gian ở UBC, $19$ tuổi ông kết hôn với Charlotte Lorraine Cheverie. Họ có bốn người con và một vài người cháu.
Tại tuổi $81$, ông tiếp tục làm việc tại viên nghiên cứu cao cấp, nơi mà hiện tại ông là giáo sư danh dự, và tại đây ông sử dụng văn phòng mà Albert Einstein đã từng dùng.
Một khái niệm cơ bản quan trọng trong các ý tưởng của Langlands là số học modular, một cách để làm số học với một tập cố định các số liên tiếp. Một ví dụ của số học modular là đồng hồ $12$ số, nếu đang là $11$ giờ, bạn cộng thêm $5$ giờ, bạn có $16$ giờ. Nhưng không có số $16$ trên đồng hồ $12$ số, tất cả chúng ta biết rằng $11$ giờ cộng $5$ tiếng là $4$ giờ, vì bạn đã trừ đi $12$!
Trong Disquisitiones Arithemeticae ($1801$), nhà Toán học người Đức Carl Friedrich Gauss đã đưa ra lý thuyết số học modular và trình bày nó như một định lý cơ bản, luật thuận nghịch bình phương, về tính giải được của các phương trình bậc hai sử dụng số học modular. Nhìn lại lần nữa phương trình $x^{2}+x+1=0$. Nếu chúng ta xét số học modular với module $3$, tức là ta chỉ sử dụng ba số $0,1,2$, thì phương trình này có một nghiêm $x=1$ vì $1^{2}+1+1=3=0 \pmod 3$. Từ Gauss, rất nhiều nhà Toán học đã có cảm hứng từ tính giải được của một số dạng nhất định các phương trình, phụ thuộc vào module và làm thế nào để liên hệ tới nhóm Galois của các phương trình này.
Một trường hợp đặc biệt của chương trình Langlands, kết nối lý thuyết số và giải tích điều hòa có thể nhìn nhận bằng các xét các dạng phương trình đa thức gọi là các "đường cong elliptic". Nếu bạn lấy một đường cong elliptic và tìm số nghiệm nó có cho mọi module nguyên số (tức là các số nguyên dương từ $2,3,5,7,11,...$, các số chỉ chia hết cho $1$ và chính nó), bạn sẽ mở rộng một dãy các số. Dãy số này, tuy nhiên, cũng có thể mở rộng bằng một dạng đối tượng Toán học khác ( =gần đúng) tương tự như các sóng tuần hoàn và có thể xem xét việc sử dụng công cụ của giải tích điều hòa.
Trong bức thư gửi And ré Weil năm $1967$ và Problems in the Theory of Automorphic Forms năm $1970$, Langlands đã tạo ra các giả thuyết rộng lớn kết nối lý thuyết số và giải tích điều hòa, điều mà rất nhiều các chuyên gia tin là đúng nhưng rất nhiều trong số đó chưa được chứng minh. Thậm chí, nó là một trong các lĩnh vực nghiên cứu phong phú nhất. Trong năm $2002$ và $2010$, một vài nhà Toán học đã được trao giải Fields vì chứng minh một số giả thuyết của Langlands (trong đó có giáo sư Ngô Bảo Châu về bổ đề cơ bản cho chương trình Langlands)
Chương trình Langlands là động lực cho các nhà Toán học vì nó là cầu nối giữa các lĩnh vực tách biệt, thể hiện một cấu trúc nền tảng sâu sắc hơn cho Toán học và cung cấp các cách mới để giải các vấn đề còn tồn động. Nhưng nó cũng vô tình vì tính tự nhiên của sự kết nối, lý thuyết số là một lĩnh vực nơi các con số xuất hiện với một thứ tự khó có thể dự đoán được, các dạng tự đẳng cấu là các đường cong mịn đầy đủ, hình mẫu chính quy và những sự đối xứng đẹp đẽ.
Thêm một câu nói hay:“He never got a Fields medal. But many people have got Fields Medals for settling special cases of his conjectures, relying on his tools to start off.” - Peter C. Sarnak
Robert Langlands, $81$ tuổi, đã nhận giải Abel $2018$, một trong các giải thưởng uy tín nhất trong Toán học, vì những cống hiến của ông mà ngày nay được gọi là chương trình Langlands, đó là một dự án tham vọng thường được gọi là một "lý thuyết lớn về sự thống nhất của Toán học".
Giải thưởng được trao bởi viện hàn lâm và khoa học Na Uy, nó trị giá $6$ triệu Na Uy krone (tương đương $550.000$ euro). Nó được đánh giá tương đương với giải Nobel của Toán học (trong Toán học không có giải Nobel).
Tiểu sử của Robert Langlands
Vào tháng $1$ năm $1967$, Robert Langlands, một giáo sư liên kết $30$ tuổi tại Princeton, đã viết một bức thư cho nhà Toán học nổi tiếng người Pháp André Weil, $60$ tuổi, để phác thảo một số hiểu biết mới sâu sắc của ông về Toán học. Nguyên văn không dịch như sau:"If you are willing to read it as pure speculation I would appreciate that," he wrote. "If not - I am sure you have a waste basket handy."$17$ trang thư của ông đã giới thiệu về một lý thuyết mà sau đó tạo ra một phương hướng hoàn toàn mới của việc suy nghĩ về Toán học: nó đề ra một liên kết sâu sắc giữa hai lĩnh vực, lý thuyết số và giải tích điều hòa, mà trước đó người ta nghĩ rằng đó là hai lĩnh vực hoàn toàn tách biệt.
Thực tế, những hiểu biết của ông là rất triệu để, ông đề nghị kết nối những ngành Toán học với nhau và trong lá thư đó ông bắt đầu một chương trình, chương trình Langlands, một chương trình đã lôi kéo hàng trăm nhà Toán học hàng đầu trong nửa thể kỉ trở lại đây. Không có một dự án nào khác trong Toán học hiện đại có ảnh hưởng rộng lớn, sinh ra rất nhiều kết quả sâu sắc và có rất nhiều người làm việc với nó. Vì tính sâu sắc và bề rộng của nó mà nó thường được miêu tả là lý thuyết thống nhất của Toán học.
Robert Langlands sinh ra tại New Westminster, Greater Vancouver, Canada vào năm $1936$. Khi ông $9$ tuổi, không chuyển đến một thị trấn nhỏ gần biên giới Mỹ nơi mà cha mẹ ông đã mở một cửa hàng cung cấp vật liệu xây dựng. Ông không hề có ý định vào đại học cho đến khi giáo viên của ông nói vậy với ông ngay trước mặt các bạn cùng lớp, rằng đó là một sự phản bội của ông trước tài năng được Chúa ban cho.
Langlands ghi danh vào trường đại học British Columbia ở tuổi $16$. Ông hoàn thành chương trình cửa nhân Toán học vào năm $1957$, và chương trình thạc sĩ sau đó. Sau đó ông chuyển đến đại học Yale, hoàn thành luận án Tiến sĩ tại đây với đề tài Semi-group and representation of Lie groups - vị nhóm và biểu diễn của các nhóm Lie, trong năm đầu tại đây. Trong năm thứ hai ông băt đầu nghiên cứu các công trình của nhà Toán học người Na Uy, Atle Selberg, mà sau đó trở thành lĩnh vực nghiên cứu chính của ông.
Vào năm $1960$, Langlands đến đại học Princeton với vai trò giảng viên, nơi mà ông vai kề vai cùng Selberg, như André Weil và Harish-Chandra, tất cả họ đã từng ở gần Viện nghiên cứu Cao cấp. Ông đặc biệt ảnh hưởng bởi công trình của Harish-Chandra trên các dạng tự đẳng cấu. Langlands cũng đã học các lý thuyết khác của Toán học, như lý thuyết trường các lớp, một lĩnh vực ông đã bị cuốn vào bởi người đồng nghiệp Salomon Bochner, Langlands đã được bổ nhiệm là thành viên trong trường của Viện Toán học.
Trong kì nghỉ giáng sinh năm $1966$, Langlands bắt đầu với ý tưởng cơ bản của "functoriality", một cơ chế để liên kết các ý tưởng trong lý thuyết số đến các dạng tự đẳng cấu. Ông đã va vào Weil trong hành lang trong những ngày bắt đầu tháng Giêng năm $1967$ và bắt đầu giải thích các khám phá của ông. Weil gợi ý rằng ông nên viết các ý tưởng của ông trong một bức thư.
Langlands nhanh chóng viết một bức thư dài bằng tay. Weil đã có bản đánh máy và nó đã được phổ biến rộng rãi giữa các nhà Toán học. Trong vòng vài năm sau, bức thư đưa ra rất nhiều điều mới, sâu sắc, và các vấn đề thú vị. Ngày càng có nhiều người tham gia dự án để chứng minh các giả thuyết của ông, được biết đến như là chương trình Langlands, "Có một vài điểm mới đã đúng mà làm tôi ngạc nhiên đến tận bây giờ," Langlands nói về bức thư của ông. "Có một điều hiển nhiên rằng các $L-$ hàm là tốt nhưng chúng sẽ có những hệ quả cho lý thuyết số đại số bởi những ý nghĩa không chắc chắn.
Langlands giành các năm $1967-68$ tại đại học kĩ thuật Trung Đông tại Ankara. Ông nói thành thạo tiếng Thổ Nhĩ Kỳ, một ngôn ngữ cần sự kiên nhẫn, ông cũng nói được tiếng Đức và Nga.
Langlands quay lại Yale nơi ông xây dựng các ý tưởng của ông về "functoriality" và sự tương giao, sau đó công bố chúng trong Problems in Theory of Automorphic Forms ($1970$). Năm $1972$ ông quay lại Princeton với tư cách giáo sư tại viện nghiên cứu Cao Cấp, và ở đó cho đến nay.
Trong những năm $1970$, Langlands tiếp tục làm việc với các tưởng về chương trình của ông. Giữa những năm $1980$, ông chuyển sự chú ý đến vật lý lý thuyết. Trong những năm gần đây ông đã tìm cách quay trở lại các ý tưởng mà ông đã tiên phong, một trong số đó là "endoscopy".
Langlands đã từng giành rất nhiều giải thưởng, bao giồm giải thưởng của viện khoa học quốc gia về Toán trong năm $1988$ cho những "tầm nhìn rộng lớn của ông". Ông đồng nhận giải Wolf $1996$ với Andrew Wiles. Các giải thưởng khác gồm giải $2005$- American Mathematical Society steele prize, $2006$ Nemmbers prize in Mathematics và giải Shaw $2007$ cùng Richard Taylor.
Trong thời gian ở UBC, $19$ tuổi ông kết hôn với Charlotte Lorraine Cheverie. Họ có bốn người con và một vài người cháu.
Tại tuổi $81$, ông tiếp tục làm việc tại viên nghiên cứu cao cấp, nơi mà hiện tại ông là giáo sư danh dự, và tại đây ông sử dụng văn phòng mà Albert Einstein đã từng dùng.
Một cái nhìn thoáng qua về các công trình của ông
Trích dẫn cho Robert Langlands khi nhận giải Abel bắt đầu bởi:Chương trình langlands dự đoán sự tồn tại của những mối liên hệ chặt chẽ giữa các dạng tự đẳng cấu và các nhóm Galois.Để hiểu về tầm quan trọng của chương trình Langlands chúng ta cần xem xét lịch sử Toán học về cả hai khái niệm: các dạng tự đẳng cấu và các nhóm Galois.
Giải tích điều hòa
Các dạng tự đẳng cấu xuất phát từ lĩnh vực trong Toán học mang tên giải tích điều hòa, theo một cách nào đó có thể nghĩ là các xấp xỉ và các số hạng tổng quát, như các hàm sóng tuần hoàn. Sóng tuần hoàn tốt nhất là hàm sin. Công dụng của các "word" hamornic ở đây đến từ các ứng dụng của sóng sine đến vật lý âm thanh. Một note về âm nhạc, ví dụ, C chơi violin, có thể hiểu là sự chồng chất của rất nhiều sống sine, mỗi trong chúng dao động đại diện một "điều hòa" của C. Các dạng tự đẳng cấu là ý tưởng mở rộng của các sóng tuần hoàn, biểu diễn bởi việc sử dụng một ngôn ngữ hình học tinh vi hơn nhiều lần.Lý thuyết số
Các nhóm Galois là khái niệm từ lý thuyết số, lý thuyết về những con số. Một trong các chú đề quan trọng rất trong lý thuyết số là làm thế nào giải được các phương trình đa thức. Ví dụ: làm sao để giải phương trình $x^{2}+x+1=0$. Phương trình này là một phương trình bậc hai và hai nghiệm của nó có thể tính bằng công thức mà hầu hết học sinh cấp THCS đã được học. Các nghiệm của nó là $\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$. Các nghiệm của nó nhìn có vẻ tương tự nhau, nói một cách khác thì chúng thể hiện ra một sự đối xứng. Trong những năm đầu tiên của thế kỉ $19$, nhà Toán học người Pháp Evariste Galois nghiên cứu các sự đỗi xứng giữa các nghiệm của một phương trình. Bảng các quan hệ đối xứng ngày nay gọi là nhóm Galois.Mối liên hệ
Chương trình Langlands là một tham vọng to lớn để kết nối giải tích điều hòa và lý thuyết số, bằng cách chứng minh các kết nối sâu sắc giữa các dạng tự đẳng cấu và các nhóm Galois. Giải tích điều hòa và lý thuyết số là hai lĩnh vực tách biệt, chúng có các khái niệm riêng, kĩ thuật và thuật ngữ riêng, chương trình thể hiện mối tương quan mạnh mẽ giữa chúng.Một khái niệm cơ bản quan trọng trong các ý tưởng của Langlands là số học modular, một cách để làm số học với một tập cố định các số liên tiếp. Một ví dụ của số học modular là đồng hồ $12$ số, nếu đang là $11$ giờ, bạn cộng thêm $5$ giờ, bạn có $16$ giờ. Nhưng không có số $16$ trên đồng hồ $12$ số, tất cả chúng ta biết rằng $11$ giờ cộng $5$ tiếng là $4$ giờ, vì bạn đã trừ đi $12$!
Trong Disquisitiones Arithemeticae ($1801$), nhà Toán học người Đức Carl Friedrich Gauss đã đưa ra lý thuyết số học modular và trình bày nó như một định lý cơ bản, luật thuận nghịch bình phương, về tính giải được của các phương trình bậc hai sử dụng số học modular. Nhìn lại lần nữa phương trình $x^{2}+x+1=0$. Nếu chúng ta xét số học modular với module $3$, tức là ta chỉ sử dụng ba số $0,1,2$, thì phương trình này có một nghiêm $x=1$ vì $1^{2}+1+1=3=0 \pmod 3$. Từ Gauss, rất nhiều nhà Toán học đã có cảm hứng từ tính giải được của một số dạng nhất định các phương trình, phụ thuộc vào module và làm thế nào để liên hệ tới nhóm Galois của các phương trình này.
Một trường hợp đặc biệt của chương trình Langlands, kết nối lý thuyết số và giải tích điều hòa có thể nhìn nhận bằng các xét các dạng phương trình đa thức gọi là các "đường cong elliptic". Nếu bạn lấy một đường cong elliptic và tìm số nghiệm nó có cho mọi module nguyên số (tức là các số nguyên dương từ $2,3,5,7,11,...$, các số chỉ chia hết cho $1$ và chính nó), bạn sẽ mở rộng một dãy các số. Dãy số này, tuy nhiên, cũng có thể mở rộng bằng một dạng đối tượng Toán học khác ( =gần đúng) tương tự như các sóng tuần hoàn và có thể xem xét việc sử dụng công cụ của giải tích điều hòa.
Trong bức thư gửi And ré Weil năm $1967$ và Problems in the Theory of Automorphic Forms năm $1970$, Langlands đã tạo ra các giả thuyết rộng lớn kết nối lý thuyết số và giải tích điều hòa, điều mà rất nhiều các chuyên gia tin là đúng nhưng rất nhiều trong số đó chưa được chứng minh. Thậm chí, nó là một trong các lĩnh vực nghiên cứu phong phú nhất. Trong năm $2002$ và $2010$, một vài nhà Toán học đã được trao giải Fields vì chứng minh một số giả thuyết của Langlands (trong đó có giáo sư Ngô Bảo Châu về bổ đề cơ bản cho chương trình Langlands)
Chương trình Langlands là động lực cho các nhà Toán học vì nó là cầu nối giữa các lĩnh vực tách biệt, thể hiện một cấu trúc nền tảng sâu sắc hơn cho Toán học và cung cấp các cách mới để giải các vấn đề còn tồn động. Nhưng nó cũng vô tình vì tính tự nhiên của sự kết nối, lý thuyết số là một lĩnh vực nơi các con số xuất hiện với một thứ tự khó có thể dự đoán được, các dạng tự đẳng cấu là các đường cong mịn đầy đủ, hình mẫu chính quy và những sự đối xứng đẹp đẽ.
Thêm một câu nói hay:“He never got a Fields medal. But many people have got Fields Medals for settling special cases of his conjectures, relying on his tools to start off.” - Peter C. Sarnak
Phạm Khoa Bằng - Dịch từ theguardian.com